Kök almak

(22 Mart Gardner, "Scientific American" adlı popüler bilim derisinde 1957 yılından beri eğlenceli Matematik yazıları yazar. Bu yazıda anlatılan gösterilerin hemen hepsi onun bu yazılardan birinden alınmadır...)

Tanıdığım bir öğretim üyesi İngiltere'de öğrenimdeyken gördüğü bir gösteriyi anlatmıştı. Sahnede Hintli bir kadın gösterdi. Ustası küpkök ve beşinci mertebeden kök alıyormuş. Yani kendisine bir sayı veriyormuşsunuz, o da göz açıp kapayıncaya kadar size "hangi sayı kendisyle 3 kez, 5 kez çarpılırsa o verdiği sayı çıkar" söylüyormuş. "Bunda ne zorluk var?" diyenlere soruyorum: "550.731.776" sayısının 5.mertebeden kökü kaçtır?"

Arkadaşımın anlattığı bu hüner, beni gerçekten çok etkilemişti. "Aşk olsun." demiştim; ta ki işin püf noktasını bulana kadar. Bulunca da hayranlığım kızgınlığa dönüştü.

1 ile 100 arasındaki bir tamsayı, 5.kuvveti olmak koşuluyla size verilen sayının 5.mertebeden kökünü bulmak gerçekten çocuk oyuncağı. Ancak bunun için aşağıdaki cetveli ezberlemek gerekiyor.

Sayı 5.kuvvetin yaklaşık büyüklüğü Sayı 5.kuvvetin yaklaşık büyüklüğü
10.. 100.000 ............................ 60.. 777 milyon
20.. 3 milyon............................. 70.. 1,5 milyar
30.. 24 milyon............................ 80.. 3 milyar
40.. 100 milyon........................... 90.. 6 milyar
50.. 300 milyon.......................... 100. 10 milyar

Bu işi çocuk oyuncağı yapan özellik şu: Bir tam sayının birler basamağındaki rakam ile o sayının beşinci kuvvetinin birler basamağındaki rakam aynıdır. Şimdi diyelim ki, biri size; "550.731.776" sayısını verdi. Sayı 550 milyon ile başladığına göre 5. mertebeden kökünün 50 ile 60 arasında, yani 50 küsür olduğunu ezberinizdeki cetvelden saptayın. Ve son basamağa kadar bekleyin. (aradaki basamakları dinlemeseniz de olur.) Son basamak 6 olduğuna göre aranan kök "56" dır. 5. mertebeden kök almak kadar olmasa bile, küpkök alma da oldukça kolay. Bunun için 1'den 10'a kadar sayıların küpünü ezberlemek gerekli.

Sayı .....1.....2.....3.......4.......5.......6.......7 .......8.......9........10
Küpü ....1.....8.....27......64....125....216...343.... 512....729.....1000

Görüldüğü gibi; 2, 3, 7 ve 8'in küpleri dışında küpün birler basamağındaki rakam, küpü alınan saynın aynısı. 2, 3, 7 ve 8 durumunda ise bunların toplamı 10 ediyor.

Şimdi diyelim ki, küp kökü alınacak sayı 314.432. Son 3 basamağı atın, 314'ü alın. 314; 216 ile 343 arasında olduğundan küp kökün onlar basamağı 6'dır. (neden?) Küpün birler basamağında 2 olduğuna göre küpkökün birler basamağında 8 olması gerekir. Şu halde aranan küpkök "68" dir.