Evrensel küme ve boş küme üzerine düşünceler..

[speranza]

evrensel küme bir tane midir yoksa birden fazla evrensel küme tanımlayabilirmiyiz?
boş küme ne ifade eder? boş kümenin varlığına neden ihtiyaç duyulmuştur?boş küme bir küme ifade eder mi?
evrensel küme ve boş küme arasında nasıl bir ilişki vardır?

[gizemnur]

Sayın Pocahontas
Çok güzel bir konu seçmişsiniz. Çok eskilerden kalan bir evrensel küme şeması zihnimde canlandı ve ben bunu uzayla ilişkilendirmişimdir çoğu zaman ama mantığını sormayın. Bilmiyorum... Ama bir yerlerden kalan bilinç altına yerleşen bir olgu sanırım. Orta okul yıllarında öğretmenimiz iki küme çizerdi dışarıda kalan evrensel küme olurdu galiba...Aslında boş kümeyi de kullanmak şart... Çünkü o boşluk olmasaydı hiçliği anlayamazdık kanısındayım...
Kusura bakmayın bu konuda fazla bilgi sahibi değilim... Sadece zihnimde canlanan şekliyle yorumda bulundum ama sizin açıklamalarınızı takip edeceğim.

[speranza]

ilk sorudan başlayalım sorgulamaya...

evrensel küme tanımı 2 farklı şekilde çıkıyor karşımıza..
1. üzerinde işlem yapılan kümeleri içeren küme.
2. eleman olarak nitelendirilebilecek herşeyi kapsayan küme.

1. tanıma göre birden fazla evrensel küme tanımlayabiliriz. evrensel küme için yeter koşul üzerinde çalıştığımız eleman ve kümeleri içeriyor olması.
bu çok sakıncalı bir durumdur. her seferinde çalışılanlara göre evrensel kümenin tanımlanması gerekir.. matematikte sonlu kümeler üzerinde çalıştığımız kadar sonsuz kümeler üzerinde de çalışırız... sonsuz kümeler, onların birleşimi vb durumlarda birden fazla evrensel küme tanımlamak durumunda kalabilirsiniz..her seferinde çalışma aralığınızı değiştirmek zorunda kalabilirsiniz... mesela A kümesinin elemanlarını bir işleme sokacaksız ama işlem sonucunda elde edeceğiniz değerler başlangıçta tanımladığınız evrensel kümenin elemanı değil... başa dönüp yeni bir evrensel küme mi tanımlayacaksınız? bu çelişkidir... işlemin her aşamasında kullanılan ulaşılan değerler tanımlanmış olan evrensel kümenin elemanı olmalıdır..
evrensel kümenin birden fazla tanımlanması yine matematiksel anlamda hareketimizi sınırlandıran bir durum diyebiliriz.. evet bir işlem yapacağım ama işlem hangi kümede gerçekleşiyor.. tanımladığım kümede mi yoksa başka bir kümeye mi sıçradı? ben nerede hareket ediyorum? evrensel kümede mi çalışıyorum yoksa başka bir yerde mi?bu durum matematiksel netliğe kaliteye aykırı bir durumdur.. (ve aslında bizde matematiksel hareketlerimizin sınırlarını belirleyebilecek kadar yetenekli değiliz..)
2. tanıma göre ise tanımlanabilen yalnızca bir tane evrensel küme vardır. evet, ne güzel bir ifadedir bu.. sınır yok, korku yok.. üzerinde çalıştığım evrensel küme düşündüğüm düşünmediğim her şeyi içeriyor zaten.. diyelim tanım kümesi pozitif tam sayılar olan, hilkat garibesi gibi bir denklemde 7yi işleme soktum ve cevap elma çıktı.. sorun yok.. elma da, o "bir tek" ve zaten herşeyi eleman kabul eden evrensel kümenin elemanı...

[silverlife]

Sayın pocahontas şöyle demiş:

ilk sorudan başlayalım sorgulamaya...

evrensel küme tanımı 2 farklı şekilde çıkıyor karşımıza..
1. üzerinde işlem yapılan elemanları içeren küme.
2. eleman olarak nitelendirilebilecek herşeyi kapsayan küme.

1. tanıma göre birden fazla evrensel küme tanımlayabiliriz. evrensel küme için yeter koşul üzerinde çalıştığımız eleman ve kümeleri içeriyor olması.
bu çok sakıncalı bir durumdur. her seferinde çalışılanlara göre evrensel kümenin tanımlanması gerekir.. matematikte sonlu kümeler üzerinde çalıştığımız kadar sonsuz kümeler üzerinde de çalışırız... sonsuz kümeler, onların birleşimi vb durumlarda birden fazla evrensel küme tanımlamak durumunda kalabilirsiniz..her seferinde çalışma aralığınızı değiştirmek zorunda kalabilirsiniz... mesela A kümesinin elemanlarını bir işleme sokacaksız ama işlem sonucunda elde edeceğiniz değerler başlangıçta tanımladığınız evrensel kümenin elemanı değil... başa dönüp yeni bir evrensel küme mi tanımlayacaksınız? bu çelişkidir... işlemin her aşamasında kullanılan ulaşılan değerler tanımlanmış olan evrensel kümenin elemanı olmalıdır..
evrensel kümenin birden fazla tanımlanması yine matematiksel anlamda hareketimizi sınırlandıran bir durum diyebiliriz.. evet bir işlem yapacağım ama işlem hangi kümede gerçekleşiyor.. tanımladığım kümede mi yoksa başka bir kümeye mi sıçradı? ben nerede hareket ediyorum? evrensel kümede mi çalışıyorum yoksa başka bir yerde mi?bu durum matematiksel netliğe kaliteye aykırı bir durumdur.. (ve aslında bizde matematiksel hareketlerimizin sınırlarını belirleyebilecek kadar yetenekli değiliz..)
2. tanıma göre ise tanımlanabilen yalnızca bir tane evrensel küme vardır. evet, ne güzel bir ifadedir bu.. sınır yok, korku yok.. üzerinde çalıştığım evrensel küme düşündüğüm düşünmediğim her şeyi içeriyor zaten.. diyelim tanım kümesi pozitif tam sayılar olan, hilkat garibesi gibi bir denklemde 7yi işleme soktum ve cevap elma çıktı.. sorun yok.. elma da, o "bir tek" ve zaten herşeyi eleman kabul eden evrensel kümenin elemanı...

bana 2. tanım daha yatkın olarak geliyor ama bir bakıma da işlem yapabilmek için elimizde sonlu bir kümenin olması gerekmez mi? bu soruda kafamı çok kurcalıyor sonuçta sonsuz elemanlı bir evrensel küme alırsak bir kümenin tümleyeni vb. işlemlerde nasıl sonuca ulaşacağız? açıkçası bu konu hakkındaki görüşlerinizi de merak ediyorum. saygılar

[speranza]

Sayın silverlife şöyle demiş:

bana 2. tanım daha yatkın olarak geliyor ama bir bakıma da işlem yapabilmek için elimizde sonlu bir kümenin olması gerekmez mi? bu soruda kafamı çok kurcalıyor sonuçta sonsuz elemanlı bir evrensel küme alırsak bir kümenin tümleyeni vb. işlemlerde nasıl sonuca ulaşacağız? açıkçası bu konu hakkındaki görüşlerinizi de merak ediyorum. saygılar

işlem yapabilmek için tabii ki sonlu elemanlı bir evrensel küme gerekmez...
evrensel kümeyi sonlamayı bırakın üzerinde çalıştığınız kümeleri bile sonlayamazsınız...
basit bir ax+b=0 denkleminin çözüm kümesi için reel sayılar kümesini kabul edersiniz ki tanım kümeside reel sayılardır, reel sayılarda sonsuzdur..
evrensel kümenin tümleyenini nasıl mı göstereceğiz; E' şeklinde.. siz evrensel kümeyi sonlasanız bile elemanlarını tek tek yazmayı yada görmeyi mi hayal ediyorsunuz?
aslında ben tam olarak ne ifade etmek istediğinizi de anlamadım sayın Silverlife...

[umbrasword]

- Küme konusu hayatımızın heryerinde yaşadığımız bir konu. Beynimizin düşünme ve algılama sistemide kümeler üzerinden yürüyor. Örneğin biz bir şeyi gördüğümüzde, beynimiz ilk başta bunları 7 ayrı kümeye bölüyor. Ancak her kümeye 1 eleman verdiğimiz için, ilk duyduğumuz şeylerin ( örneğin bir telefon numarası ) 7'sini aklımızda tutuyoruz. Ancak bazı insanlar duydukları şeyleri sınıflayarak bu 7 kümenin eleman sayısını artırıyor ve daha fazla şeyi aklında tutabiliyor. Tabii kümeleri oluştururken bunları benzer özellikte olanlar olarak belirliyor veya ' Ahmet'in söyledikleri', ' sarı saçlı kızın anlattıkları' şeklinde yapıyor.

- Bizim beynimizin evrensel kümesi ise beynimizde düşündüğümüz, algıladığımız, bildiğimiz herşey. Ancak bizim bilmediğimiz şeylerinde evrensel kümeleri var. Ben böyle düşünüyorum.

[gizemnur]

O zaman hepsini içine alan tek bir evrensel kümeden bahsetmek mümkün görülmemektedir. Çocukluk yıllarımda evrensel kelimesini duyduğumda geniş bir yelpaze ve bütün hissine kapılırdım. Belki o zaman evrenden ötesi yok bilgisinin cahilliğinden olsa gerek... Peki her evrensel küme baka bir evrensel kümenin içindeyse neden evrensel denilmiştir?

[speranza]

Sayın gizemnur şöyle demiş:

O zaman hepsini içine alan tek bir evrensel kümeden bahsetmek mümkün görülmemektedir. Çocukluk yıllarımda evrensel kelimesini duyduğumda geniş bir yelpaze ve bütün hissine kapılırdım. Belki o zaman evrenden ötesi yok bilgisinin cahilliğinden olsa gerek... Peki her evrensel küme baka bir evrensel kümenin içindeyse neden evrensel denilmiştir?

aslında tek bir evrensel kümeden bahsedebilir..
evrensel kümeyi birden fazla tanımlamak işleri sarpa sarmaktan başka bişey değil... matematik evrensel ve tek bir yaratımdır.. son yoktur, sınır yoktur... bu durumda öyle bir yerde hareket etmelisiniz ki sınırı aşmış olma olasılığınız çok çok düşük olmalı... (herşeye rağmen bilmediğiniz yerlere doğru da yol almış olabilirsiniz matematik bu sonuçta)... bunun için en güzel en şık şekilde, evrensel kümeyi tek tanımlamaktır...

[speranza]

dedim ki bir evrensel kümem var.. onu E ile gösteriyorum..
tanımlı tüm kümeleri düşünün... bunların adları sırasıyla; A, B, C... olsun..
evrensel kümeyi tanımlıyorum şimdi, E:evrensel küme, &:birleşim işareti olsun:

E=A&B&C&D&E&.... şeklinde gider..
ancak bu ifade ne kadar doğrudur?
eksiktir..
elemanlarla tanımlanan kümeler işleme dahil edildi peki elemanı olmayan ama küme belirten kümeler... Q boş küme olsun..
mesela;
Q1:7 beyinli insanlar kümesi, böyle bir insan yok...
Q2:Türkiye'de güneş'in doğmadığı iller...
Q3:Dünya'da bulunmayan ülkeler...
bu ifadeler birer küme belirtir ancak belirttikleri kümeler boş kümelerdir..

tüm boş kümeler için şöyle düşünürsek;
Q1&Q2&Q3&......=Q dir..
öyleyse evrensel kümenin içinde tanımlayacağımız bir boş küme ile diğer tüm boş kümeleri temsil etmiş oluruz...

E=Q&A&B&C&D&E...... şeklindeki ifade daha güzel olur... yokluğu yada yok olanın var olabilme ihtimalini yansıtmak için kümelerin bir alt kümesininde boş küme olduğunu düşünüyorum ve kendimce böyle izah ediyorum...

[süpheci]

Evrensel küme: {üzerinde calıstıgım konuya ait tüm nesneler E

Bos küme: {ölümsüz canlıların olusturdugu küme