Nokta ve doğru

[sinsiati]

nokta : tanımsız ( mı ) peki ya doğru ? bir doğru için noktalar kümesidir denilebilir mi ?

Eğer nokta boyutsuz ise nasıl noktalar kümesinden bahsedilebilir ? veya başka bir değişle nasıl noktalar birleşir ve doğruyu meydana getirebilir ?

Acaba burada matematiğin idealist dünyasının bizim dünyamıza kabul ediliş aşaması mı var ? Neticede biryerlerden başlamak gerek !

[Horozigo]

Evet bazen bilimdede bazı catısmalar olabılıyor. Cok ilginc bır yere temas etmişsiniz.

[adil]

"Nokta" tıpkı "1" sayısı gibidir. Dağları bayırları gezerken asla 1 denilen şeye rastlayamayız. Dünyanın öbür ucuna da gitsek 1'i bulamayız. Aynı şekilde dünyada nokta diye bir şey yoktur. Fakat dünyada 1 tane olan şeyler vardır. Benim 1 kalemim var mesela.... Aynı şekilde dünyada örneğin başlangıç noktası vardır. Cismin hareket ettiği doğrultu boyunca bir doğru tanımlanabilir.

[Can Pekmez]

"Neticede bir yerlerden başlamak gerek." sözü her şeyi açıklıyor. Matematik de aynen öyle işte, bir yerden başlıyor. Nokta ve doğru, her ikisi için de tam denebilecek bir tanım mevcut değil, bence olmayacak da. Fakat bu durum geometride herhangi bir aksaklığa neden olmuyor, bu yüzden sorun da yok. Eğer geometriciler her şey tam olsun, tamam olsun düşüncesiyle, önce bir şu kavramları kati sınırlarla tanımlayalım deselerdi bugünkü keşiflerden bir sürüsü belki de yapılmayacaktı.

[speranza]

nokta tanımsızdır ve varlığı ispatlanamamıştır.. ancak varlığı matematiksel dizgelerle doğrulanmıştır,kabul edilmiştir...
noktalar kümesi ifadesiyle noktaların birleşimi ifadesi bambaşka şeylerdir...
aynı doğrultu üzerinde bulunan noktaların oluşturduğu sonsuz (sonlu olmayan) elemanlı kümeden bahsedebiliriz, ve bu kümeye doğru diyebiliriz...
2 noktanın birleşmesi gibi bir durum söz konusu olamaz. geometrik anlamda birleşmenin sağlanabilmesi için en az 2 eleman arasında çakışma gerçekleşmesi lazım. eğer bu mantıkla gidersek 2 noktayı birleştirmek için en az herhangi birer elemanlarını çakıştırmamız gerekir.. bunun için noktanın birden fazla elemandan oluşması gerekir ki bu durum bizim nokta tanımımızla örtüşmez...yani 2 nokta birleştirilemez, sadece çakıştırılır...

aksiyomlar ve postulaların izahı yoktur ispatı yoktur, bunlar sorgulamadan kabul edilir...
2 noktadan 1 doğru ve yalnız 1 doğru geçer ifadeside euclides'in bir postulasıdır ve eğer euclides geometrisi yapacaksanız bu ifadeyi sorgulamadan kabul edersiniz... euclides dışı geometri yapacaksanız o zamanda o geometrinin aksiyomlarını sorgulamadan kabul edersiniz...

aslında matematiğin tamamen ussal bir etkinlik olduğu söylenemez...matematiğin temeli sezgilerdir, duyulardır.. bu harekete yön veren akıldır..

[gizemnur]

sayın pocahontas,
Noktanın tanımsız olduğuna kabul ediyorum. Ama iki noktadan bir doğru geçer ifadesini irdelemeden kabul etmenin mantığını algılamakta zorlanıyorum.Bir çubuğu aldığımızda bunu doğru olarak kabul edersek, boyutları belirliyken ne kadar nokta belirleyebiliriz. Herkesin çalışması farklı sonuçlar verecektir. İşte bu noktada matematikte başka unsurlara başvurmak gerekiyor...

[speranza]

sayın gizemnur2;
zorluk çekecek bir şey yok aslında. bu aksiyomlar kabullerinden sonraki matematiksel dizgelerle doğrulanır..yanlış olmadığı görülür..
eğer siz "2 noktadan 1 doğru ve sadece bir doğru geçer" ifadesinin geçerliliğini kabul etmiyorsanız(etmek zorunda da değilsiniz), bu olabilecek birşey.. o zaman siz, diyelim ki "2 noktadan birden fazla doğru geçer" dediniz; oturup bu aksiyoma göre kendi geometrinizi oluşturmak durumundasınız...
bunun daha önce görülmüş örnekleri vardır.. örneğin euclides'in paralellik aksiyomunun tersini kabul ederek hiperbolik geometri oluşturulmuştur, mesela bu geometride üçgenin iç açıları daima 2 dik açıdan küçüktür...

bize ilkokuldan başlayarak öğretilen euclides geometrisidir... bundan başka geometrilerde vardır.. herkes kendi belitlerini teoremlerini tanımlıyarak kendi geometrisini oluşturabilir... uğraştığınız şey eğer bilimse; otorite, zorunluluk, mecburiyet diye birşey olmuyor, zihninizin sizi götürebildiği yere kadar özgürce düşünebilir ilerleyebilirsiniz, ne güzel değil mi?

euclides geometrisi' nin girişine bir bakalım..

euclides geometrisinin temeli nokta ile başlar. "hiçbir parçası olmayan ize nokta denir" tanımını euclides(İ.Ö. 300) yapmıştır.

euclides'in beş aksiyomu;
1. Aynı şeye eşit olan şeyler eşittir
2. Eşit şeylere eşit çokluklar eklenirse sonuç yine eşittir
3. Eşit şeylerden eşit çokluklar çıkarılırsa sonuç yine eşittir
4. Birbirleriyle çakışan şeyler birbirine eşittir
5. Bütün, parçalarından büyüktür.

postülatlarına bazı örnekler verelim.
1. iki noktadan bir doğru geçer,
2. iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur,
3. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir,
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir,
5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse, bu iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulunduğu tarafta kesişirler.

euclides geometrisi için bu veriler, aksiyomatiktir, sorgulanmadan kabul edilir. euclides, kendi geometrisini bu aksiyomların ve postülatların üzerine kurmuştur, herhangi birindeki küçücük bir anlam değişikliği tüm geometriyi çökertir...

[gizemnur]

Sayın pocahontas şöyle demiş:

sayın gizemnur2;
zorluk çekecek bir şey yok aslında. bu aksiyomlar kabullerinden sonraki matematiksel dizgelerle doğrulanır..yanlış olmadığı görülür..
eğer siz "2 noktadan 1 doğru ve sadece bir doğru geçer" ifadesinin geçerliliğini kabul etmiyorsanız(etmek zorunda da değilsiniz), bu olabilecek birşey.. o zaman siz, diyelim ki "2 noktadan birden fazla doğru geçer" dediniz; oturup bu aksiyoma göre kendi geometrinizi oluşturmak durumundasınız...
bunun daha önce görülmüş örnekleri vardır.. örneğin euclides'in paralellik aksiyomunun tersini kabul ederek hiperbolik geometri oluşturulmuştur, mesela bu geometride üçgenin iç açıları daima 2 dik açıdan küçüktür...

bize ilkokuldan başlayarak öğretilen euclides geometrisidir... bundan başka geometrilerde vardır.. herkes kendi belitlerini teoremlerini tanımlıyarak kendi geometrisini oluşturabilir... uğraştığınız şey eğer bilimse; otorite, zorunluluk, mecburiyet diye birşey olmuyor, zihninizin sizi götürebildiği yere kadar özgürce düşünebilir ilerleyebilirsiniz, ne güzel değil mi?

euclides geometrisi' nin girişine bir bakalım..

euclides geometrisinin temeli nokta ile başlar. "hiçbir parçası olmayan ize nokta denir" tanımını euclides(İ.Ö. 300) yapmıştır.

euclides'in beş aksiyomu;
1. Aynı şeye eşit olan şeyler eşittir
2. Eşit şeylere eşit çokluklar eklenirse sonuç yine eşittir
3. Eşit şeylerden eşit çokluklar çıkarılırsa sonuç yine eşittir
4. Birbirleriyle çakışan şeyler birbirine eşittir
5. Bütün, parçalarından büyüktür.

postülatlarına bazı örnekler verelim.
1. iki noktadan bir doğru geçer,
2. iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur,
3. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir,
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir,
5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse, bu iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulunduğu tarafta kesişirler.

euclides geometrisi için bu veriler, aksiyomatiktir, sorgulanmadan kabul edilir. euclides, kendi geometrisini bu aksiyomların ve postülatların üzerine kurmuştur, herhangi birindeki küçücük bir anlam değişikliği tüm geometriyi çökertir...

Söylediklerinizi kabul ediyorum. Matematik için uygulanan bir sistem ama bunu hayata uyarlayacak olursak; iki noktayı neye göre belirliyoruz.... Öyle iki noktadan bir doğru geçer demekle bitiyor mu? İrdelediğimizde bu kavram çökerse sistematik olarak hayatımızda neler değişir?
Saygılar

[speranza]

"kısa matematik tarihi"(dirk struik) isimli bir kitap okuyorum..bu kitapta, 16.yy matematikçilerinin doğru ve nokta hakkındaki şu ifadeleriyer alıyor:
en küçük doğru diye birşey yoktur.bir nokta bölünemez olduğundan bir doğrunun parçası değildir.nokta hareket ederek bir doğruyu oluşturabilir.

[gizemnur]

Sayın pocahontas şöyle demiş:

"kısa matematik tarihi"(dirk struik) isimli bir kitap okuyorum..bu kitapta, 16.yy matematikçilerinin doğru ve nokta hakkındaki şu ifadeleriyer alıyor:
en küçük doğru diye birşey yoktur.bir nokta bölünemez olduğundan bir doğrunun parçası değildir.nokta hareket ederek bir doğruyu oluşturabilir.

En küçük doğru olabilir koordinatları belirlenmiş ise mümkün...Mümkün olmayan nedir? Doğruyu oluşturacak noktaları belirlemek... Farazi hesaplarla noktayı ve bu oktalardan doğruyu oluştururuz... Saygılar